A feladat
Képzeljük el a következő helyzetet: egy cég kábellel körbe szeretné keríteni a Földet az Egyenlítő mentén. A tervezett útvonal viszont áthaladna egy gazda földjén — aki ezt nem engedi.
A cég ajánlatot tesz: technikai okokból a kábel csak kör alakú lehet, ezért ha a gazda fizeti a többletköltséget, akkor az egész kábelt 1 méter magasan vezetik a talaj fölött, körbe a Föld körül.
Ha 1 méter kábel 1 euróba kerül, mennyit kell fizetnie a gazdának?
Mielőtt tovább olvasol, tippelj egyet. Mennyi lehet ez az összeg? Néhány ezer euró? Millió? Több millió?
A józan ész megtéveszt
A Föld kerülete az Egyenlítőnél nagyjából 40 000 kilométer. Ha valakit megkérdezünk, hogy mennyi kábel kell ahhoz, hogy ezt a hatalmas kört 1 méterrel megemeljük, a legtöbben sok-sok kilométerre tippelnek.
Lássuk, mit mond a matematika.
A megoldás
Jelölje \(R\) a Föld sugarát (kb. 6 378 000 méter az Egyenlítőnél). Az eredeti kábel hossza, ami pontosan a felszínen futna:
\[K_1 = 2\pi R\]
Ha a kábelt mindenhol 1 méterrel megemeljük, akkor egy \(R + 1\) sugarú körön fut. Az új kábel hossza:
\[K_2 = 2\pi (R + 1)\]
A két hossz különbsége — vagyis a többletkábel, amit fizetni kell:
\[\Delta K = K_2 - K_1 = 2\pi(R+1) - 2\pi R = 2\pi \cdot 1 = 2\pi\]
A többletkábel pontosan \(2\pi \approx 6{,}28\) méter, vagyis a gazdának körülbelül 6 euró 28 centet kell fizetnie.
Miért olyan meglepő ez?
Nézzük meg újra a képletet:
\[\Delta K = 2\pi \cdot \Delta r\]
Ebben a kifejezésben az eredeti sugár, \(R\), egyáltalán nem szerepel. Ez azt jelenti, hogy mindegy, mekkora kört emelünk meg 1 méterrel — legyen az egy teniszlabda, egy futballpálya, a Föld vagy akár a Föld pályája —, a többletkábel mindig ugyanaz a \(2\pi\) méter.
| Eredeti objektum | Kerület | Megemelt kerület | Többlet |
|---|---|---|---|
| Teniszlabda (\(r = 3{,}3\) cm) | 20,7 cm | 6,49 m | \(2\pi\) m |
| Futballpálya kör (kezdőkör, \(r = 9{,}15\) m) | 57,5 m | 63,8 m | \(2\pi\) m |
| Föld (\(R \approx 6378\) km) | 40 030 km | 40 030 km + 6,28 m | \(2\pi\) m |
Mi az intuíció mögötte?
A meglepetés abból fakad, hogy az ember arányokban gondolkodik: ha a Föld kerülete 40 000 km, akkor “ahhoz képest” 1 méter elhanyagolható, úgyhogy talán valami picit kell hozzáadni — de valahogy a hatalmas méret miatt mégis sokat.
A valóságban azonban a kerület lineárisan függ a sugártól (\(K = 2\pi r\)), ezért a sugár növelésének hatása nem a sugár méretétől függ, hanem csak a növelés mértékétől. Egy méter növelés egy méter növelés, akár a Föld, akár egy alma sugarát növeljük vele.
Pedagógiai tanulság
Ezt a feladatot szeretem azért, mert egyetlen sorban megmutatja, hogy a matematikai intuíció és a matematikai valóság néha drámaian különbözik — és hogy egy egyszerű képlet képes szétoszlatni egy nagyon erős előítéletet.
A diákok először szinte mindig azt tippelik, hogy a válasz a Föld méretétől függ. Aztán amikor a két képletet egymás alá írjuk és kivonjuk, látható módon eltűnik az \(R\), és csak egy meztelen \(2\pi\) marad.
Ez a pillanat — amikor a képlet elárul valami olyat, amit a megérzésünk nem látott — szerintem a matematika egyik legszebb élménye.
Ha érdekelnek hasonló, gondolkodást átformáló matekfeladatok, nézz be rendszeresen a MatekStream blogjára.